При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления, т.е. из наращенной суммы. Так как проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заёмщик, естественно получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учётной ставке, а так же коммерческим или банковским учётом. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, называется дисконтом .
Введём следующие обозначения:
d - относительная величина учётной ставки;
P – сумма, получаемая заёмщиком;
S – сумма, которая должна быть возвращена;
n - продолжительность периода начисления в годах;
q – продолжительность периода начисления в днях;
К – продолжительность года в днях.
Простые учётные ставки.
Используются формулы:
Преобразуя
последнее выражение получаем формулы
для определения других показателей:
Сложные учетные ставки.
d c – относительная величина сложной учетной ставки;
–коэффициент
наращения для случая учетной ставки;
По
прошествии
n
лет
наращенная сумма составит
,
а
множитель наращения имеет вид
Пример 8. Первоначальная сумма долга равняется 25 тыс.руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25%.
Решение
При
применении декурсивного способа
начисления процентов по формуле
получаем: тыс.руб.При
применении антисипативного способа
начисления процентов по формуле
получаем: 
тыс.руб.
Данный
пример наглядно демонстрирует ощутимость
различия
в результатах при разных
способах начисления процентов. Разница
составляет больше 10 тыс. руб.
Банковское дисконтирование связано с предоставлением коммерческого кредита, объектом которого является товар, а кредитным документом служит товарный вексель. В этом случае используется простая или сложная учетная ставка , представляющая собой плату, взимаемую банком за авансирование денежных средств при покупке (учете) ими векселей до наступления срока их погашения. Учетная ставка является по своей сути разницей (дисконтом) между номиналом векселя и ценой, по которой он был куплен (учтен) банком.
Расчет стоимости векселя методом банковского дисконтирования с использованием простой учетной ставки можно иллюстрировать следующим примером.
Пример 9. Организация реализовала свою продукцию на условиях коммерческого кредита с оформлением простого векселя, номинальной стоимостью 100 тыс.руб. и сроком на 90 дней. Учётная ставка процента за предоставленный кредит – 20% годовых. За 30 дней до истечения срока погашения векселя организация решила продать его банку. Требуется определить сумму, которую организация получит в зачет векселя:
P = S ∙ (1– d ∙ n )= 100 000 = 98,333 тыс.руб.
Тогда сумма дисконта (прибыли банка) составит:
100 – 98,333 =1,667 тыс.руб.
Расчет текущей стоимости векселя методом банковского дисконтирования по сложной учетной ставке рассмотрим на следующем примере.
Пример 10. Организация - владелец векселя номинальной стоимостью 100 тыс.руб. и периодом обращения 2 года предложила его банку сразу для учета, т.е. за 2 года до погашения. Банк согласился учесть этот вексель по сложной учетной ставке 20% годовых. Сумма, полученная организацией – владельцем векселя, составит:
P = S (1 – d) n = 100 (1 – 0,2) 2 = 100 ∙ 0,64 = 64 тыс.руб.
Дисконт банка: 100 – 64 = 36 тыс.руб.
На условиях этого же примера определим сумму, полученную организацией - владельцем векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке – 20%. Тогда:
P = S ∙ (1 – d ∙ n) = 100 = 100 ∙ 0,6 = 60 тыс.руб.
Дисконт банка: 100 – 60 = 40 тыс.руб.
Банку в данном случае более выгоден учет векселя по проcтой учетной ставке.
Существует два принципиально разных способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.
При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления, исходя из суммы капитала, предоставленного на начало временного интервала. Декурсивная процентная ставка (i ) называется ссудным процентом и определяется по формуле:
i = I / PV,
где I PV – сумма денег на начало временного интервала.
При антисипативном способе начисления процентов они начисляются в начале каждого интервала начисления, исходя из наращенной суммы денег на конец интервала (включающей капитал и проценты). Антисипативная процентная ставка (d ) называется учетной ставкой и определяется по формуле:
d = I / FV ,
где I – процентный доход за определенный временной интервал; FV – наращенная сумма денег на конец временного интервала.
На практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный способ применяется в операциях учета векселей и других денежных обязательств. Сумма денег на конец интервала начисления считается величиной получаемого кредита. Так как проценты начисляются в начале временного интервала, то заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом. Дисконт – это разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, то есть доход, полученный банком по учетной ставке.
Как при декурсивном, так и при антисипативном способах могут использоваться схемы начисления простых и сложных процентов. При использовании схемы простых процентов они начисляются на сумму первоначального вклада. Сложный процент предполагает капитализацию процентов, то есть начисление «процентов на проценты».
С точки зрения кредитора, при проведении финансовых операций краткосрочного характера (менее года) более выгодна схема простых процентов, а при долгосрочных операциях (более года) – схема сложных процентов. При долгосрочных операциях с дробным числом лет выгодна так называемая смешанная схема, когда в течение целого числа лет начисляются сложные проценты, а в течение дробной части года – простые проценты.
В табл. систематизированы формулы определения наращенной суммы денег, то есть будущей стоимости вклада, при декурсивном и антисипативном способах начисления процентов. При этом использованы следующие обозначения:
FV – будущая (наращенная) сумма денег;
PV – настоящая (текущая) сумма денег;
i – ставка ссудного процента;
d – учетная ставка;
n – число лет в интервале начисления процентов;
m – число внутригодовых начислений процентов;
t – продолжительность интервала начисления процентов при краткосрочных операциях, дней;
T – продолжительность года, дней;
w – целое число лет в интервале начисления;
f – дробная часть года в интервале начисления.
Таблица
Формулы расчета наращенной суммы денег при различных условиях начисления процентов
| Условия начисления процентов | Способ начисления процентов | |
| Декурсивный | Антисипативный | |
| простой процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + in) | FV = PV / (1 – dn) |
| сложный процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i) n | FV = PV / (1 – d) n |
| простой процент, срок операции менее года |  |
|
| смешанная схема начисления процентов при дробном числе лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i) w (1 + if) | FV = PV / [(1 – d) w (1 + if)] |
| сложный процент, внутригодовые начисления с целым числом лет в интервале начисления процентов | FV = PV´(1 +i/m) nm | FV = PV / (1 –d/m) nm |
При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.
Наращенная сумма за n лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов i с определяется по формуле
S = P (1 + i с) n .
Задача 7
Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.
Решение:
S = 500 000 (1 + 0.18) 3 = 821 516 р.
Процентные деньги = 821 516 – 500 000 = 321 516 р.
Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов – годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.
Наращенная сумма при этом определяется по формуле
S = P (1 + j / m) mn ,
где j – номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;
m – количество периодов начисления процентов в году;
n – срок ссуды в годах;
j / m – ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.
Задача 8
Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.
Решение:
S = 100 000 (1 + 0.16 / 4) 4 х 5 = 219 112.2 р.
Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы S по сложной ставке процентов.
Решите самостоятельно
Задача 9
Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.
Ответ: 289 351.8 р.
Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится
n = log (S/P) / log (1+i).
Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.
Задача 10
Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.
Ответ: 4.15 года.
Задача 11
Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.
Ответ: 26%.
Антисипативный метод начисления простых процентов
(простые учетные ставки)
При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом .
Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
P = S (1 – n d) ,
где d – простая учетная ставка;
(1 – n d) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.
Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. n d должно быть строго меньше единицы. Значения d, близкие к предельным, на практике не встречаются.
Задача 12
Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.
Решение:
P = 100 000 (1 – 0.25 х 0.15) = 96 250 р.
Дисконт = S – P = 100 000 – 96 250 = 3 750 р.
Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
P = S (1 – d д / K) ,
где К – количество дней в году (временная база).
Решите самостоятельно
Задача 13
Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.
Ответ: 94 444.44 р.; 5 555.56 р.
На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вычетом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.
Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле
P = S (1 – Δn·d) = S (1 – d·Δд / K),
где Δn = Δд / K – срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;
Δд – число дней от даты учета до даты погашения векселя.
Задача 14
При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.
Решение:
d = (100 000 – 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.
Решите самостоятельно
Задача 15
Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.
Ответ: 197 500 р.; 2 500 р.
Задача 16
Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р
. Ответ: 0.61 года.
Определение неудовлетворительной структуры баланса предприятия по критериям текущей ликвидности, обеспеченности собственными средствами, восстановления или утраты платежеспособности
Согласно постановлению Правительства РФ от 25.05.94 года №498, степень неплатежеспособности предприятий должна оцениваться по трем критериям, характеризующим неудовлетворительную структуру баланса:
1. коэффициент текущей ликвидности;
2. коэффициент обеспеченности собственными средствами;
3. коэффициент восстановления или утраты платежеспособности.
Основанием для признания структуры баланса предприятия неудовлетворительной, а предприятия - неплатежеспособным является выполнение одного из следующих условий:
Коэффициент текущей ликвидности на конец отчетного периода имеет значение менее 2;
Коэффициент обеспеченности собственными средствами на конец отчетного периода имеет значение менее 0.1. На основании этих коэффициентов территориальными агентствами по неплатежеспособности и банкротству предприятий принимаются следующие решения: О признании структуры баланса неудовлетворительной, следовательно, предприятие – неплатежеспособно. О наличии реальной возможности у предприятия-должника восстановить свою платежеспособность. О наличие реальной возможности утраты платежеспособности предприятия, если оно в ближайшее время не сможет выполнить своих обязательств перед кредиторами. Эти решения принимаются вне зависимости от наличия у предприятия установленных законодательством внешних признаков несостоятельности.
Коэффициент текущей ликвидности характеризует общую обеспеченность предприятия оборотными средствами для ведения хозяйственной деятельности и возможность предприятия своевременно погашать срочные обязательства = тек активы/тек пассивы.
Коэффициент обеспеченности собственными средствами характеризует наличие собственных средств у предприятия, необходимых для обеспечения его финансовой устойчивости = (тек.пассивы-тек.активы)/общ величина тек активов.
Признание предприятия неплатежеспособным не всегда означает признание его несостоятельным, не влечет за собой наступление гражданско-правовой ответственности собственника. Это лишь фиксируется в территориальном агентстве по банкротству как финансовая неустойчивость.
Нормативное значение критериев установлено таким образом, чтобы обеспечить меры по предупреждению несостоятельности предприятия, а также стимулировать данное предприятие к самостоятельному выходу из кризиса. В случае если хотя бы один из двух вышеперечисленных коэффициентов не отвечает нормативным значениям, рассчитывается коэффициент восстановления платежеспособности за предстоящий период 6 месяцев. Если коэффициент текущей ликвидности больше или равен 2, коэффициент обеспеченности больше или равен 0,1, то рассчитывается коэффициент утраты платежеспособности за предстоящий период 3 месяцев.
Коэффициент восстановления платежеспособности определяется как сумма фактического значения текущей ликвидности отчетного периода и изменение этого коэффициента между окончанием и началом периода в перерасчете на 6 месяцев.
К1Ф – фактическое значение коэффициента текущей ликвидности на конец отчетного периода.
К2Ф – фактическое значение коэффициента текущей ликвидности на начало отчетного периода.
Т – отчетный период в месяцах
2 – норматив коэффициента текущей ликвидности
(на 6 мес) > 1, то у предприятия есть реальная возможность восстановить свою платежеспособность за достаточно короткий период.
Если коэффициент восстановления платежеспособности < 1, то у предприятия нет реальной возможности восстановить свою платежеспособность на данный момент и за достаточно короткий срок.
Коэффициент утраты платежеспособности определяется:
Если коэффициент утраты платежеспособности (на 3 мес) > 1, это свидетельствует о наличие реальной возможности у предприятия утратить платежеспособность.
При наличии оснований для признания структуры баланса неудовлетворительной, но в случае выявления реальной возможности восстановить платежеспособность, территориальным агентством по банкротству принимается отложить решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие неплатежеспособным на срок до 6 месяцев.
Если такие основания отсутствуют, то принимается одно из двух решений:
Если коэффициент восстановления платежеспособности > 1, то не принимается решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие – неплатежеспособным.
Если коэффициент восстановления платежеспособности < 1, тогда решение о признании структуры баланса неудовлетворительной, а предприятие – неплатежеспособным так же не может быть принятым. Однако в виду реальной угрозы утраты платежеспособности оно ставится на учет в территориальный орган по банкротству, но только в том случае, если доля государственных предприятий в общей собственности более 25%.
Ряд предприятий может оказаться неплатежеспособным в связи с задолженностью государства перед этим предприятием. В этом случае производится анализ зависимости платежеспособности предприятия на данный момент и задолженности государства предприятию.
Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или фин. характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процента.
В настоящее время существует два способа определения и начисления процентов:
Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставленного капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный (предварительный) способ. Предварительный процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплаченного за определенный интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом , измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:
Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:
где D – сумма дисконта.
Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:
декурсивные проценты: (3)
антисипативные проценты: , (4)
где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.
Однако продолжительность ссуды n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база ), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:
для декурсивных процентов: (6)
для антисипативных процентов: , (7)
Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):
Точные проценты с точным числом дней (365/365).
Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).
Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).
Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая ) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет .
Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:
где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.
При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:
Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.
Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года.
Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:
(10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.
Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):
, (11) где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.
Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.
В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:
При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:
Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.
Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:
где (1 –d) n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.
при m > 1 получаем
, (16)где f – номинальная сложная учетная ставка,
(1 – f / m) mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.
Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем
, (17) где 1 / (1 + i) n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.
При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:
, (18) где j –номинальная сложная процентная ставка,
1 / (1 + j / m) mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.
Существует два принципиально разных способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.
При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления, исходя из суммы капитала, предоставленного на начало временного интервала. Декурсивная процентная ставка (i ) называется ссудным процентом и определяется по формуле:
i = I / PV,
где I PV – сумма денег на начало временного интервала.
При антисипативном способе начисления процентов они начисляются в начале каждого интервала начисления, исходя из наращенной суммы денег на конец интервала (включающей капитал и проценты). Антисипативная процентная ставка (d ) называется учетной ставкой и определяется по формуле:
d = I / FV ,
где I – процентный доход за определенный временной интервал; FV – наращенная сумма денег на конец временного интервала.
На практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный способ применяется в операциях учета векселей и других денежных обязательств. Сумма денег на конец интервала начисления считается величиной получаемого кредита. Так как проценты начисляются в начале временного интервала, то заемщик получает сумму кредита за вычетом процентов. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом.
Декурсивный и антисипативный способы начисления процентов
Дисконт – это разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой, то есть доход, полученный банком по учетной ставке.
Как при декурсивном, так и при антисипативном способах могут использоваться схемы начисления простых и сложных процентов. При использовании схемы простых процентов они начисляются на сумму первоначального вклада. Сложный процент предполагает капитализацию процентов, то есть начисление «процентов на проценты».
С точки зрения кредитора, при проведении финансовых операций краткосрочного характера (менее года) более выгодна схема простых процентов, а при долгосрочных операциях (более года) – схема сложных процентов. При долгосрочных операциях с дробным числом лет выгодна так называемая смешанная схема, когда в течение целого числа лет начисляются сложные проценты, а в течение дробной части года – простые проценты.
В табл. систематизированы формулы определения наращенной суммы денег, то есть будущей стоимости вклада, при декурсивном и антисипативном способах начисления процентов. При этом использованы следующие обозначения:
FV – будущая (наращенная) сумма денег;
PV – настоящая (текущая) сумма денег;
i – ставка ссудного процента;
d – учетная ставка;
n – число лет в интервале начисления процентов;
m – число внутригодовых начислений процентов;
t – продолжительность интервала начисления процентов при краткосрочных операциях, дней;
T – продолжительность года, дней;
w – целое число лет в интервале начисления;
f – дробная часть года в интервале начисления.
Таблица
Формулы расчета наращенной суммы денег при различных условиях начисления процентов
| Условия начисления процентов | Способ начисления процентов | |
| Декурсивный | Антисипативный | |
| простой процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + in) | FV = PV / (1 – dn) |
| сложный процент, целое число лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i)n | FV = PV / (1 – d)n |
| простой процент, срок операции менее года |  |
|
| смешанная схема начисления процентов при дробном числе лет в интервале начисления | FV = PV´ (1 + i)w (1 + if) | FV = PV / |
| сложный процент, внутригодовые начисления с целым числом лет в интервале начисления процентов | FV = PV´(1 +i/m)nm | FV = PV / (1 –d/m)nm |
Таблица 1
Способы начисления процентов
Декурсивный способ
Антисипативный способ
Проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами.
Проценты приходуются авансом (выплачиваются в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на их величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т.е. скидкой с суммы ссуды).
Процентная ставка,
ставка ссудных (простых) процентов
Учетная ставка,
ставка дисконта
Процентнаяставка (англ. interestrate ) - это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год).
Учётная ставка (англ. discountrate ) - это сумма, указанная в процентном выражении к величине денежного обязательства (векселя), которую взимает приобретатель обязательства. Фактически, учётная ставка - это цена, взимаемая за приобретение обязательства до наступления срока уплаты.
Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов
(1 + ni) – множитель наращения декурсивных процентов
1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативных процентов
Отличие способов на практике :
Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых.
В случае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) будет равна 1,15 млн. рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей (1,15 – 1).
Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина (Sd) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сумма процентов (D) 0,176 млн.
Декурсивное начисление процентов
Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки.
Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.
Подготовлено по материалам сайтов:
http://ru.wikipedia.org . См. статьи «Процентная ставка» и «Учетная ставка».
http://www.aup.ru/books/m182/ –М.А.Масыч. Финансовые и коммерческие расчеты на ЭВМ . Конспект лекций.Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.
Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. за фиксированные одинаковые интервалы времени, которые носят название «период начисления ». Период начисления – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. Антисипативный (prenumerando) метод расчета подразумевает начисление процентов в начале периода.
Предварительный метод начисления процента (метод пренумерандо или антисипативный метод) – способ расчета платежей, при котором проценты начисляются в начале расчет-ного периода на сумму погашения долга в соответствии с учетной ставкой (d). Такой способ начисления процентов называется антисипативным (предварительным).
Вообще, антисипативное наращение используется, как правило, при учете долговых обязательств и при выдаче ссуд, а также в периоды вы-сокой инфляции.
Последующий метод начисления процента (метод постнумерандо или декурсивный метод) – способ расчета платежей, при котором происходит суммирование первоначаль-ного капитала и процентного дохода (в соответствии с процент-ной ставкой)причем начисление процентов осуществляется в конце расчетного периода. Ставку i иногда называют ссудным процентом.
В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.
Период времени от начала финансовой операции до ее окончании (рисунок 1.3) называется сроком финансовой операции .
Если, например, внести в банк 4 тыс.
Декурсивный и антисипативный способы
руб. на полгода под 10 % годовых, то через полгода можно получить свои 4 тыс. руб. вместе с 0,2 тыс. руб., т.е. всего 4,2 тыс. руб. (декурсивное начисление). Если же обратиться в банк за – ссудой в 4 тыс. руб. на полгода под 10 %, то банк удержит процен-ты за весь срок ссуды (0,2 тыс. руб.) сразу, т.е. будет выдано на самом деле 3,8 тыс. руб., а через полгода банк получит 4 тыс. руб. Следовательно, банк получит 3,8 тыс. руб. с процентами на эту сумму (антисипативное начисление).
Проценты – доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или фин. характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процента.
В настоящее время существует два способа определения и начисления процентов:
Декурсивный способ. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставленного капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный (предварительный) способ. Предварительный процент начисляется в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплаченного за определенный интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму:
Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:
где D – сумма дисконта.
Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. Основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:
декурсивные проценты: (3)
антисипативные проценты: , (4)
где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.
Однако продолжительность ссуды n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:
для декурсивных процентов: (6)
для антисипативных процентов: , (7)
Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):
— Точные проценты с точным числом дней (365/365).
— Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).
— Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).
Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.
Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения.
Декурсивный и антисипативный способы начисления простых и сложных процентов
Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:
где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.
При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле:
Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.
Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года.
Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:
(10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.
Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):
, (11) где 1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.
Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.
В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:
При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:
Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.
Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид:
где (1 –d)n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.
при m > 1 получаем
, (16)где f – номинальная сложная учетная ставка,
(1 – f / m)mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке.
Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем
, (17) где 1 / (1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке.
При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид:
, (18) где j –номинальная сложная процентная ставка,
1 / (1 + j / m)mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке.